Case study: khung cắt 4 tầng¶
Bài toán kiểm chứng dùng dữ liệu công bố trong bài hướng dẫn 1 của sổ tay MACEC 3.4, §4.1 (MACEC, KU Leuven). Bài toán có nghiệm chính xác và có kết quả nhận dạng đã công bố, nên dùng được làm chuẩn để đánh giá độ chính xác của Chladni.
Tạo lại project: Projects → New project → mẫu 4-storey shear frame – benchmark. Project chứa dữ liệu, hình học, mô hình chính xác và các kết quả tham chiếu bên dưới; trang Compare modes tính MAC giữa các bộ mode.
1 · Bài toán¶
Khung thép 2 nhịp 4 tầng được mô hình hóa thành nhà cắt 4 bậc tự do:
- khối lượng mỗi tầng m = 2 kg, mỗi tầng có 2 cột với độ cứng k = 2500 N/m mỗi cột;
- cản tỉ lệ C = K/1000, nên ζᵢ = ωᵢ / 2000;
- tải là ồn trắng tác dụng lên từng tầng, đo gia tốc ngang của 4 tầng, thêm 5 % nhiễu đo (SNR ≈ 30 dB);
- fs = 50 Hz, 8192 mẫu (164 s): bản ghi ngắn, nên hệ số cản có sai số lớn.
| Mode | f chính xác [Hz] | ζ chính xác [%] |
|---|---|---|
| 1 | 2.764 | 0.87 |
| 2 | 7.958 | 2.50 |
| 3 | 12.192 | 3.83 |
| 4 | 14.956 | 4.70 |
Trong Chladni, nghiệm chính xác chính là mô hình FE của project: script OpenSeesPy
examples/macec_frame/frame_model.py có cột hai đầu ngàm xoay, với 12EI/h³ = k và dầm sàn cứng tuyệt đối.
Mô hình này cho lại đúng bốn tần số ở bảng trên.
2 · Quy trình trong Chladni¶
- Geometry: 10 nút, 12 beam và các slave DOF, đọc từ các file hình học
.ascđi kèm dữ liệu. - Convert / Process & DOFs: dữ liệu
framedata.mat; chỉ bỏ giá trị trung bình; DOF nút 5, 4, 3, 2 phương X. - System identification: PSD+ (đoạn 512 mẫu, Δf = 0.098 Hz), SSI-data và SSI-cov (i = 34, bậc 2–60, bước 2), pLSCF (bậc 30).
- Modal analysis: chọn bốn cực ổn định trên biểu đồ ổn định, hoặc peak picking / FDD trên phổ.
- Compare modes: MAC với dạng mode chính xác và với kết quả tham chiếu.
3 · Kết quả¶
Thông số nhận dạng được chọn trùng với thông số dùng cho kết quả tham chiếu, để hai bộ kết quả so sánh được
với nhau (cùng độ phân giải phổ 0.098 Hz, cùng i và dải bậc). Kết quả tham chiếu (cột MACEC) lấy từ bảng 4.1–4.3
của sổ tay MACEC và từ các file kết quả đi kèm bài hướng dẫn (examples/macec_frame/macec_modes.json).
Tần số riêng [Hz]¶
| Mode | Chính xác | MACEC PP | MACEC FDD | MACEC SSI-data | MACEC SSI-cov | MACEC pLSCF | Chladni FDD | Chladni SSI-cov | Chladni SSI-dat | Chladni pLSCF |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2.764 | 2.734 | 2.734 | 2.769 ± 0.009 | 2.770 ± 0.010 | 2.768 | 2.734 | 2.769 | 2.768 | 2.752 |
| 2 | 7.958 | 8.008 | 8.008 | 7.932 ± 0.039 | 7.931 ± 0.077 | 7.921 | 7.910 | 7.924 | 7.934 | 7.933 |
| 3 | 12.192 | 12.109 | 12.109 | 12.185 ± 0.248 | 12.114 ± 0.211 | 12.162 | 12.207 | 12.168 | 12.163 | 12.176 |
| 4 | 14.956 | 15.234 | 15.234 | 15.030 ± 0.272 | 15.007 ± 0.355 | 14.965 | 14.941 | 15.015 | 14.994 | 14.964 |
(± = khoảng tin cậy 95 % theo kết quả tham chiếu.)
- Phương pháp tham số (SSI, pLSCF): Chladni sát nghiệm chính xác: sai số dưới 0.5 % với mode 1–3, dưới 0.6 % với mode 4. Mọi giá trị của Chladni nằm trong khoảng tin cậy 95 % của kết quả tham chiếu.
- Peak picking / FDD: sai số bị giới hạn bởi độ phân giải 0.098 Hz. Ở mode 2–4, Chladni và kết quả tham chiếu rơi vào hai vạch phổ kề nhau, hai bên tần số chính xác (ví dụ mode 2: 7.910 và 8.008 so với 7.958), do khác cách ước lượng phổ (Welch chồng lấn 50 % so với periodogram 16 khối). Cả hai đều cách nghiệm chính xác chưa tới một vạch phổ.
Hệ số cản [%]¶
| Mode | Chính xác | MACEC SSI-data | MACEC SSI-cov | MACEC pLSCF | Chladni SSI-cov | Chladni SSI-dat | Chladni pLSCF |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0.87 | 0.81 ± 0.31 | 0.80 ± 0.31 | 0.81 | 0.80 | 0.81 | 0.48 |
| 2 | 2.50 | 1.93 ± 0.63 | 1.94 ± 1.48 | 1.85 | 2.04 | 2.11 | 2.06 |
| 3 | 3.83 | 3.65 ± 1.45 | 3.76 ± 1.64 | 3.00 | 0.80 ⚠ | 3.47 | 3.36 |
| 4 | 4.70 | 5.50 ± 2.00 | 5.23 ± 3.17 | 3.84 | 4.90 | 4.83 | 4.13 |
- Với bản ghi chỉ 8192 mẫu, hệ số cản phân tán nhiều ở mọi phương pháp; khoảng tin cậy của kết quả tham chiếu rộng tới ±40–60 %.
- ⚠ Chladni SSI-cov, mode 3: khi chọn tự động, Chladni lấy cực ổn định ở bậc nhỏ nhất
(
find_mincủa pyOMA2). Mode 3 bị kích thích yếu, nên ở bậc thấp hệ số cản chưa hội tụ. Chọn cực ở bậc cao hơn ngay trên biểu đồ ổn định (ví dụ bậc 48) sẽ cho giá trị quanh 3.5 %, giống SSI-dat.
MAC so với dạng dao động chính xác¶
| Mode | MACEC PP | MACEC FDD | MACEC SSI-data | Chladni FDD | Chladni SSI-cov | Chladni SSI-dat | Chladni pLSCF |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1.000 | 1.000 | 1.000 | 1.000 | 1.000 | 1.000 | 0.999 |
| 2 | 0.999 | 1.000 | 1.000 | 1.000 | 1.000 | 1.000 | 1.000 |
| 3 | 0.986 | 0.992 | 1.000 | 1.000 | 0.994 | 1.000 | 0.997 |
| 4 | 0.987 | 0.997 | 0.997 | 0.996 | 1.000 | 0.999 | 0.998 |
MAC giữa SSI-dat của Chladni và SSI-data tham chiếu ≥ 0.999 cho cả 4 mode. MPC của mọi mode ≥ 0.99, đúng như mong đợi với kết cấu cản tỉ lệ: mode thực, không phức.
4 · Ghi chú¶
- Lần nhận dạng có sẵn trong mẫu chọn mode tự động (cực ổn định ở bậc nhỏ nhất). Để chọn tay: System identification → SSI-data, i = 34, bật Estimate covariances → Modal analysis → chọn bốn cực ổn định ở bậc 48 → ξ = 0.81 / 1.91 / 3.49 / 5.40 %, kèm σf, σξ.
- Độ bất định: σ của SSI trong Chladni tính bằng bootstrap (pyOMA2); kết quả tham chiếu dùng công thức giải tích, nên giá trị cùng bậc độ lớn nhưng không trùng khít.